如图,抛物线Y=x^2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 09:52:17
如图,抛物线Y=x^2+4x与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.
①求点A的坐标;
②以点A、B、O、P为顶点的四边形中, 有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;
③设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当4+6√2<S<6+8√2时,求x的取值范围.

解： 

（1）因为抛物线方程为：y＝X^2＋4X 

配方得：y＝(X＋2)^2－4, 

所以抛物线的顶点坐标为（－2，－4）。 即A的坐标为（－2，－4） 

（2）令y＝0，解得X＝0或－4， 

所以B点坐标为（－4，0）， 

因为A点到X轴距离是4 

所以根据勾股定理得：AB＝OA＝2√5 

情形一：若以A、B、O、P为顶点的四边形是菱形 

因为OB＝4＜2√5，所以OB＜AB＝OA 

所以AB、OB或OA、OB不能同时作为菱形的边 

所以只能是OA、AB作为菱形的两边，OB作为菱形的对角线 

所以P点是A点关于X轴的对称点 

所以P点坐标为P1（－2，4） 

（因为此时OP1//AB，所以P1一定在直线L上） 

情形二：若以A、B、O、P为顶点的四边形是等腰梯形 

因为OB＝4＜2√5，所以OB＜AB＝OA 

所以只能是OB作为梯形的一腰 

容易求出直线L的解析式是Y＝－2X 

因为P在L上，所以可设其坐标是P（X，－2X） 

因为PA＝OB＝4，A点坐标是（－2，－4） 

所以根据勾股定理得： 

(X＋2）^2＋(－2X＋4)^2＝16 

解得：X＝2/5或X＝2 

因为当X＝2时，四边形ABOP是平行四边形，不合题意 

所以X＝2/5 

此时P的坐标是P2（2/5，－4/5） 

情形三：若以A、B、O、P为顶点的四边形是直角梯形 

显然只能是AB作为梯形的下底 

过A、B分别作L的垂线，垂足分别为P4、P3（两点坐标均可表示为（X，－2X）） 

设O到AB的距离是H，根据三角形面积公式可得